Original:http://www.mathematische-basteleien.de/index.htm

Спіралі
Зміст цієї сторінки
Що таке спіраль?
Спіралі за полярними рівняннями
... Архімедова спіраль
... Equiangular Spiral
... Ще Спіралі
Clothoide
Спіралі з дуг
Спіралі з сегментів ліній
Тривимірні спіралі
Локсодром
Створення спіралей
Спіралі набору Мандельброта
Спіралі з металу
Спіралі, спіралі, спіралі
Спіралі в Інтернеті
Список літератури .
На головну сторінку "Mathematische Basteleien"

Що таке спіраль?

Спіраль - це крива в площині або в просторі, який спеціально обтікає центр.

Дотримуються різні спіралі. Більшість з них виробляються за формулами.


Спіралі за допомогою Полярних рівнянь

Спіральна вершина Архімеда
Ви можете зробити спіраль двома рухами точки: Є рівномірний рух у фіксованому напрямку і рух по колу з постійною швидкістю. Обидва рухи починаються з однієї точки.
.......................... .
(1) Рівномірний рух ліворуч переміщує точку вправо. - Є дев'ять знімків.
(2) Рух з постійною кутовою швидкістю переміщує точку на спіралі одночасно. - Кожен восьмий поворот має місце.
(3) Спіраль, як крива, приходить, якщо ви накреслите точку на кожному кроці.


Ви отримуєте формули, аналогічні рівнянням кола.
Коло
... ... Нехай P - точка кола з радіусом R, яка задається рівнянням в центральному положенні.

Існує три основних опису кола:
(1) Центральне рівняння: x² + y² = R² або [y = sqr (R²-x²) und y = -qq (R²-x²)],
(2) Форма параметрів: x (t) = R cos (t), y (t) = R sin (t),
(3) Полярне рівняння: r (t) = R.

Ви даєте точку парою (радіус OP, кут t) в (простому) полярному рівнянні. Радіус - це відстань точки від початку (0 | 0). Кут лежить між радіусом і позитивною віссю х, її вершиною в походженні.

Спіраль
Радіус r (t) і кут t пропорційні для найпростішої спіралі, спіралі Архімеда. Тому рівняння:
(3) Полярне рівняння: r (t) = at [a є постійним].
З цього випливає
(2) Форма параметрів: x (t) = у cos (t), y (t) = у sin (t),
(1) Центральне рівняння: x² + y² = a² [дуга tan (y / x)] ².

... ... Архімедова спіраль починається з початку і робить криву з трьома раундами.

Відстані між спіральними гілками однакові.
Точніше: Відстань точок перетину вздовж лінії через початок є однаковими.


... ... Якщо ви відображаєте архімедову спіраль на прямій лінії, ви отримуєте нову спіраль з протилежним напрямком.
Обидві спіралі виходять назовні. Якщо дивитися на спіралі, ліва формує криву, що йде вліво, а правий - криву, що йде направо.
Якщо ви з'єднаєте обидві спіралі прямою (червоною) або вигнутою кривою, розвивається подвійна спіраль.

Вершина еквангулярної спіралі (логарифмічна спіраль, спіраль Бернуллі)
... ... (1) Полярне рівняння: r (t) = exp (t).
(2) Форма параметрів: x (t) = exp (t) cos (t), y (t) = exp (t) sin (t).
(3) Центральне рівняння: y = x tan [ln (sqr (x² + y²))].

Логарифмічна спіраль також виходить назовні.
Спіраль має характерну особливість: кожна лінія, що починається від початку (червона), розрізає спіраль з таким же кутом.


Більше Спіралі зверху
Якщо замінити термін r (t) = at на спіраль Архімедової на інші терміни, ви отримаєте ряд нових спіралей. Є шість спіралей, які можна описати з функціями f (x) = x ^ a [a = 2,1 / 2, -1 / 2, -1] і f (x) = exp (x), f ( x) = ln (x). Ви розрізняєте дві групи в залежності від того, як параметр t зростає від 0.
... ......... Якщо абсолютний модуль функції r (t) зростає, спіралі пробігають зсередини назовні і перевищують усі межі.

Спіраль 1 називається параболічною спіраллю або спіраллю Ферма.


... .... Якщо абсолютний модуль функції r (t) зменшується, спіралі пробігають ззовні всередину. Вони зазвичай біжать до центру, але вони не досягають його. Є полюс.

Спіраль 2 називається Lituus (кривий персонал).

Я вибрав рівняння для різних спіральних формул, придатних для побудови графіка.

Клотоіда ( Cornu Spiral) зверху
... .... Тканина або подвійна спіраль є кривою, кривизна якої зростає з відстанню від походження. Радіус кривизни є протилежним, пропорційним його дузі, виміряної від початку.

Форма параметрів складається з двох рівнянь з інтегралами Френеля, які можна вирішити лише приблизно.

Ви використовуєте спіраль Корну, щоб описати розподіл енергії дифракції Френеля на одній щілини в хвильовій теорії.


Спіралі з верхівки дуг
Спіралі півколо
... ... Ви можете додати половину кола, зростаючи крок за кроком, щоб отримати спіралі.

Радіуси мають співвідношення 1 : 1.5 : 2 : 2.5 : 3 .....


Спіраль Фібоначчі
... ... Намалюйте дві маленькі квадрати один на одного. Додайте послідовність зростаючих квадратів проти годинникової стрілки.

Намалюйте чверть кіл всередині квадратів (чорний).

Вони формують спіраль Фібоначчі.

Спіраль Фібоначчі називається після її чисел. Якщо взяти довжину квадратної сторони в порядку, ви отримаєте послідовність 1,1,2,3,5,8,13,21, ... Це числа Фібоначчі, які можна знайти за рекурсивною формулою. a (n) = a (n-1) + a (n-2) з [a (1) = 1, a (2) = 1, n> 2].

Спіралі З верху сегментів ліній
... ... Спіраль виконана відрізками ліній довжинами 1,1,2,2,3,3,4,4, ....

Лінії зустрічаються один з одним під прямим кутом.


... ... Накресліть спіраль у перетині з чотирма пересічними прямими, які утворюють кути 45 °. Почніть з горизонтальної лінії 1 і зігніть наступну лінію перпендикулярно до прямої лінії. Сегменти лінії утворюють геометричну послідовність з загальним співвідношенням sqr (2).

Якщо ви намалюєте спіраль у прямій лінії, ви наближаєтеся до логарифмічної спіралі, якщо кути стають меншими та меншими.


... ... Наступна спіраль утворена ланцюжком прямокутних трикутників, які мають спільну сторону. Гіпотенуза одного трикутника стає ногами наступного. Перше посилання - трикутник 1-1-sqr (2).

Вільні ніжки утворюють спіраль.

Особливо те, що трикутники торкаються сегментів лінії. Їх довжина - коріння натуральних чисел. Це можна довести за допомогою теореми Піфагора.

Ця цифра називається кореневою спіраллю або кореневим равликом або колесом Феодора.


... ... Квадрати обертаються навколо свого центру на 10 ° і стискаються одночасно, так що їх кути залишаються на боках їх попередньої площі.
Результат: Кути утворюють чотири спіральні рукави. Спіраль схожа на логарифмічну спіраль, якщо кути стають все менше і менше.
Ви також можете перетворити інші регулярні багатокутники, наприклад, рівносторонній трикутник. Ви отримуєте подібні цифри.
Ця картина нагадує мені мову програмування LOGO перших днів обчислень (C64-ностальгія).

Тривимірні спіралі зверху
Helix
... ... Якщо ви намалюєте коло з x = cos (t) і y = sin (t) і рівномірно тягнете його в напрямку z, ви отримаєте просторову спіраль, що називається циліндричною спіраллю або спіраллю.


Пара зображень робить можливим 3D-перегляд.

... ... Відображайте 3D-спіраль на вертикальній площині. Ви отримуєте нову спіраль (червону) з протилежним напрямком.

Якщо ви тримаєте праву руку навколо правої спіралі, і якщо ваш палець вказує в напрямку осі спіралі, спіраль рухається за годинниковою стрілкою вгору. Праворуч круговий.

Ви повинні використовувати ліву руку для лівої спіралі. Він залишається циркулярним. Поворот обертається проти годинникової стрілки.

Приклад: Майже всі гвинти мають обертання за годинниковою стрілкою, тому що більшість людей є правшами.


... ... У «технічній» літературі правильна кругова спіраль пояснюється наступним чином: Ви намотуєте прямокутний трикутник навколо циліндра. Розгортається спіраль, що обертається за годинниковою стрілкою, якщо трикутник збільшується вправо.

Конічна спіраль зверху
Можна зробити конічну спіраль зі спіраллю архімедової або рівнокутної спіралі.

Пара зображень робить можливим 3D перегляд.

Локсодром , Сферичний Helix
... ... Локсодромом є крива на сфері, яка розрізає меридіани під постійним кутом. Вони з'являються на проекції Меркатора як прямі.
Параметричне представлення
x = cos (t) cos [1 / tan (at)]
y = sin (t) cos [1 / tan (at)]
z = -sin [1 / tan (at)] (a постійна)
Ви можете знайти x² + y² + z² = 1. Це рівняння означає, що локсодрома лежить на сфері.
Як правило, є локсодроми на кожному твердому тілі, виконаному обертанням навколо осі.

Створення вершини спіралей
... ... Смуга паперу стає спіраллю, якщо витягнути смужку між великим і крайком ножа, сильно натиснувши. Спіраль стає завивкою, де присутня гравітація.
Цей ефект використовується для прикраси кінців синтетичних матеріалів, таких як вузькі барвисті смужки або стрічки, що використовуються в обгортці подарунків.
Я припускаю, що цей ефект слід пояснювати так само, як і біметалічний брус. Ви створюєте біметалічний брус, склеюючи разом дві смужки, кожна з яких виготовлена ​​з іншого металу. Після нагрівання цього біметалевого бруса одна металева смуга розширюється більше, ніж інша, що призводить до згину планки.
Причиною того, що смуга поворотів паперу не настільки велика різниця в температурі між верхньою і нижньою стороною. Ніж змінює структуру поверхні паперу. Ця сторона стає "коротшою".
До речі, смужка паперу буде злегка згинатися, якщо ви тримаєте її в теплі полум'я свічки.
... ... Формування кучерів нагадує мені стару дитячу гру: Візьміть квітку кульбаби і виріжте стебло на дві або чотири смуги, зберігаючи голову непошкодженою. Якщо ви помістіть квітку у воду, щоб голова плавала на поверхні, смуги стебла згорнуться. (Зверніть увагу на місця.)

Можливе пояснення: Можливо, різне поглинання води на кожній стороні смуг змушує їх згортатися.


Спіралі Мандельброта встановлені зверху

Координати належать до центру зображень.

Ви також знайдете гарні спіралі, як Юлія Набори. Ось приклад:
Більше про цю графіку ви знайдете на моїй сторінці Mandelbrot Set .

Спіралі з металу
Ви знайдете гарні спіралі як прикраса засклених вікон, огорож, воріт або дверей. Ви можете побачити їх скрізь, якщо ви дивитесь навколо.
... ... Я знайшов спіралі, які варто показати в Нью-Ульмі, штат Міннесота, США.

Американці з німецьким родом побудували копію пам'ятника Герман біля Детмольда / Німеччина приблизно в 1900 році.
Залізні перила з багатьма спіралями прикрашають сходи (фото).

Докладніше про американського та німецького Германа на сторінках Вікіпедії (URL нижче)


Костюмні коштовності також приймають спіралі як мотив.
... ... Спіраль Аннет

Спіралі, Спіралі, Спіралі зверху
Амоніти, роги диких овець, водна спіраль Архімеда, область високого або низького тиску, розташування соняшникових ядер, @, біметалевий термометр, єпископський штаб, знак Бретані, кола морського орла, підйом, молочна кислота, що обертається за годинниковою стрілкою, хмари диму, котушки, пружини, штопори, роги, локон, депресія в метеорології, диск Фестоса, подвійна нитка цибулини, подвійна спіраль ДНК, подвійна спіраль, електронні промені в магнітному поздовжньому полі, електрони в циклотроні, спіраль Екснера, пальцева мітка, ялицевий конус, планер висхідний, паз запису, голова скрипки для музичного інструменту, нагрівальний провід всередині конфорки, спіраль тепла, спіраль інфляції, кишечник головоломки, спіраль знань, равлик солодки, життєва спіраль, аттрактор Лоренца, мінарет у Самаррі (Ірак), музичний інструмент роги, маятник тіла маятника Галілея, рельєфна смуга колони Траяна в Римі або колона Бернверда в Хільдесхаймі, маковий равлик, дорога конічної гори , роль (дріт , нитка, кабель, шланг, рулетка, папір, бандаж), гвинтові нитки, простий маятник з тертям, змія в положенні спокою, змія ескулапа, равлик внутрішнього вуха, сувої, гвинтова водорість, равлик, павук, спіральні книжки, спіральні туманності, гвинтові сходи (наприклад, дві гвинтові сходи в скляному куполі Рейхстагу в Берліні), Spirallala ;-), локшина Spirelli, спіралі (наприклад, Cholera bacillus), пружини матраца, всмоктуючий стовбур (нижній) щелепи) білокачанної білої метелики, хвоста морського коня, кранів хвойних, язика і хвоста хамелеона, слідів на CD або DVD, скрипкового ключа, бивнів гігантів, вірусів, спіральних, весняних годинників і балансу весни годинник, джакузі, вихор.


Спіралі в Інтернеті зверху

Німецька

Asti
BEWEGUNGSFUNKTIONEN Spiralen

DHO Braasch
Spiralen als Symbol der Sonnenbahn

Юрген Берккейєр
Фібоначчі-Спірален

Матеприсма
Bewegungsfunktionen (Спіральн 1) - ( Спіральний онлайн zeichnen )

Михайло Комма
Fresnel-Beugung am Einzelspalt ( Корну-Спірале )

Сьюзан Хельбіг, Карін Хенкель і Ян Крінер
Spiralen в Naturwissenschaft, Technik und Kunst

Стефан Яеккель і Сергій Амбоні
Spiralen в Natur, Technik und Kunst
(Посилання: Heitzer J, Spiralen, ein Kapitel phänomenaler Mathematik, Leipzig 1998)

Вікіпедія
Spirale , Klothoide , Logarithmische Spirale , Фібоначчі , Loxodrome , Ulam-Spirale
Hermannsdenkmal , Пам'ятник Герман Хайтс



Англійська

Айхан Куршат ЕРБАС
Equiangular Spiral

Боб Аллансон
Це логарифмічна спіраль

Девід Епштейн (Geometry Junkyard)
Спіралі , (посилання)

Ерік Вайсштейн (MathWorld)
Спіралі :
Архімедова спіраль , колісна спіраль , конусна спіраль , спіраль Корну , фрактал заклинань , спіраль Ферма, спіраль , гіперболічна спіраль , логарифмічна спіраль , миша , спіраль Нільсена , полігональна спіраль , первинна спіраль , радіальна спіраль , раковина , сферична спіраль

Хоп Давид (галерея Хопа)
Ріманова сфера , рога Рама , спіральна плитка

Іварс Петерсон
Переслідуючи криві переслідування

Ян Вассенаар
спіраль

Джон Макнаб
Скульптури

Кіт Девлін
Подвійна спіраль

Марк Ньюболд
Лічильник спіралей, що обертаються

Річард Парріс (Freeware-Program WINPLOT)
Офіційний сайт закрито. Завантажити німецьку програму на heise наприклад

Xah Lee
Еквангулярна спіраль , Архімедова спіраль , Lituus , Cornu Spiral

Вікіпедія
Спіраль , спіраль Архімеда, спіраль Корну, спіраль Ферма , Гіперболічна спіраль , Lituus , Логарифмічна спіраль ,
Спіраль Фібоначчі , Золота спіраль , лінія Румба , спіраль Улама ,
Пам'ятник Герман Хайтс , Германсденкмал


Французька

Роберт ФЕРРЕЛ ( COURBES 2D )
SPIRALE
КУРБИ 3D (SPHÉRO-CYLINDRIQUE, SPIRALE CONIQUE DE PAPPUS, SPIRALE CONIQUE DE PIRONDINI, SPIRALE SPHÉRIQUE)



Різні мови
Ви можете прочитати цю сторінку в перекладі на гаїтянську креольську мову .
Ви також можете прочитати цю сторінку в перекладі з малайської мови .
Ви також можете прочитати цю сторінку російською мовою .
Ви також можете прочитати цю сторінку на хінді .
Ви також можете прочитати цю сторінку у датському перекладі .
Ви також можете прочитати цю сторінку французькою мовою .
Ви також можете прочитати цю сторінку в перекладі на голландську мову .
Ви також можете прочитати цю сторінку у перекладі угорською мовою .
Ви також можете прочитати цю сторінку в перекладі на іспанську мову .
Ви також можете прочитати цю сторінку у словацькому перекладі .

Список літератури
(1) Мартін Саденер: Unsere gespiegelte Welt, Ullstein, Берлін, 1982 р. [ISBN 3-550-07709-2]
(2) Райнер і Патрік Гайч: Комп'ютерний фокус для школи та студії, група 2, Landsberg am Lech, 1985
(3) Ян Гуллберг: математика - від народження чисел, Нью-Йорк / Лондон (1997) [ISBN 0-393-04002-X]
(4) Христо Бояджієв: Спіралі і конхоспірали в польоті комах, Журнал математики коледжу,
Vol.30, No.1 (Jan., 1999) pp.23-31
(5) Джилл Пурш: містична спіраль - Подорож душі, Темза і Хадсон, 1972, передрукована 1992 р.


Зворотній зв'язок: адреса електронної пошти на моїй головній сторінці

Ця сторінка також доступна на німецькій мові

URL моєї домашньої сторінки:
http://www.mathematische-basteleien.de/

© Jürgen Köller 2002

зверху