Original:http://zimmer.csufresno.edu/~larryc/proofs/proofs.introduction.html

Введення у докази

Докази є серцем математики. Якщо ви магістр математики, тоді ви повинні погодитися з доказами - ви повинні вміти читати, розуміти і писати їх. Що таке таємниця? Яку магію потрібно знати? Коротка відповідь: немає таємниці, ні таємниці, ні магії. Все, що потрібно, - це якийсь здоровий глузд і базове розуміння декількох довірених і легко зрозуміти прийомів.

Структура докази

Базова структура докази проста: це всього лише серія тверджень, кожен з яких також є І це все. Іноді з'являється пояснювальна зауваження, але це лише для читача і не має логічного відношення до структури доказу.

Хорошо написано доказ. Тобто, читач повинен відчувати себе так, ніби вони беруться на прогулянку, що приймає їх прямо і неминуче до бажаного висновку, не відволікаючись від нерелевантних деталей. Кожен крок повинен бути чітким або принаймні чітко виправданим. Гарним доказом легко дотримуватися.

Коли ви закінчите з доказом, застосуйте вищезазначений простий тест до кожного речення: чи це явно (а) припущення або (б) виправданий висновок? Якщо вирок не виконує тест, можливо, це не належить до доказу.

Приклад: ірраціональність площі коріння 2

Щоб написати докази, ви повинні мати можливість прочитати докази. Подивіться, чи можете ви стежити за доказом нижче. Не турбуйтеся про те, як би ви мали (або не мали б) придумувати ідею для доказування. Прочитайте доказ з урахуванням критеріїв, перерахованих вище. Чи кожне речення явно є припущенням чи висновком? Чи проходить перевірка? Чи дійсно довела теорема?

Перш ніж почати доказ, давайте згадаємо кілька визначень. Реальне число називається раціональним, якщо воно може бути виражено як співвідношення двох цілих чисел: p / q. Старовинні греки вважали, що всі цифри були раціональними. Число, яке не є раціональним, буде називатися ірраціональним . Ви, напевно, вважають, що р є ірраціональним. (Це може здивувати вас, що це не легко довести.) Коли греки довели, що квадратний корінь з 2 не є раціональним числом, самі підстави арифметики були поставлені під сумнів. Це є однією з причин того, що грецька геометрія згодом процвітала - ці цифри можна було б розглядати геометрично без посилання на раціональність.

Інший факт, що нам знадобиться, - це фундаментальна теорема арифметики . Ця хвилююча теорема звучить не більше, ніж той факт, що кожне натуральне число має унікальне уявлення як продукт простих чисел. Техніка доказів, яку ми будемо використовувати, є доказом протиріччя . Вам не потрібні спеціальні знання, щоб зрозуміти, що це означає. Це дуже просто. Будемо вважати, що квадратний корінь з 2 є раціональним числом, а потім приходить до протиріччя. Переконайтеся, що ви розумієте кожен рядок докази.

Теорема. Квадратний корінь з 2 є ірраціональним числом.

Доказ. Давайте позначимо квадратний корінь з 2 с. Тоді, за визначенням, задовольняє рівняння

s 2 = 2.

Якщо б це було раціональним числом, то ми могли б написати

s = p/q

де p та q - пара цілих чисел. Інфактно, розділяючи загальну множину, якщо це необхідно, ми можемо навіть вважати, що p та q не мають спільного множинного (крім 1). Якщо ми замінимо це на перше рівняння, то після деякої алгебри отримаємо рівняння

p2 = 2 q2 .

Але тепер, за основною теоремою арифметики, 2 має з'явитися в простій множнику числа p2 (оскільки воно виявляється в тому ж числі 2 q2 ). Оскільки сама 2 - це просте число, то 2 має з'явитися в простій множникові числа p. Але тоді 22 з'явиться в основному factoriztion р2 , а значить, і в 2 q2 . Розділяючи a 2, тоді з'ясовується, що 2 знаходиться в розрядності q2 . Як і раніше (з p2 ), тепер ми можемо зробити висновок, що 2 є простим коефіцієнтом q. Але тепер у нас є p і q, які мають спільне значення, а саме 2. Це порушує наше припущення вище (подивіться, чи можете ви його знайти), що p та q не мають спільного декількох інших, ніж 1.