Original:http://web.math.rochester.edu/people/faculty/doug/nilp.html


Нильпотентность и периодичность в стабильной гомотопической теории  описывает некоторые крупные успехи, достигнутые в алгебраической топологии в последние годы, в центре которой лежат теоремы нильпотентности и периодичности, которые были высказаны автором в 1977 году и доказаны Девиннацем, Хопкинсом и Смитом в 1985 году. За десять лет в теории гомотопии достигнут ряд значительных успехов, и эта книга наполнила реальную потребность в обновленном тексте по этой теме. Первые несколько глав книги Равенеля написаны для общей математической аудиторией. Они исследуют идеи, которые приводят к теоремам и их приложениям к теории гомотопий. Книга начинается с некоторых элементарных понятий теории гомотопий, которые необходимы для постановки задачи. Сюда относятся такие понятия, как гомотопия, гомотопическая эквивалентность, CW-комплекс и надстройка. Затем вводятся механизмы комплексного кобордизма, К-теория Моравы и формальные групповые законы в характеристике р . Последняя часть книги предоставляет специалистам последовательный и строгий учет доказательств. Он включает в себя доселе неопубликованный материал о приведенном произведении и теоремы о хроматической сходимости и о модулярных представлениях симметрической группы.

Обзоры книги были также написаны Ландвебером в Бюллетене AMS в 1994 году (доступен в формате dvi, pdf и ps ) и Куном в AMS Math Reviews в 1994 году (также доступно в формате dvi, pdf и ps).

Стабильная гомотопическая теория наиболее традиционно относится к изучению групп $\{Y,Z\}$, группы гомотопических классов устойчивых отображений между пространствами $ Y $ и $ Z $, в частности, когда $ Y $ и $ Z $ являются конечными клеточными комплексами. Пусть $\{Y,Z\}\sb n $ обозначает $\{\Sigma\sp n Y,Z\}$, для фиксированного $X $, $ \ {X, X \} \ sb *$ становится градуированным кольцом под композицию, и можно задать как качественные, так и количественные вопросы об этом кольце. Самый известный и наиболее изученный пример - когда $X $ является $ S\sp 0 $, а соответствующее кольцо обозначается $\pi\spS\sb*$. Качественным результатом этого кольца является теорема Г. Нишиды с начала 1970-х годов о том, что элементы положительной степени нильпотентны, теорема, доказательство которой в конечном счете опирается на некоторые изящные наблюдения о расширенных степенях пространств и спектров. Два основных исследования, приводящие к явной количественной информации о $ \ pi \ sp S \ sb * $, были сделаны Дж. Ф. Адамсом в 1960-х годах: его организация стабильной гомотопии через спектральную последовательность Адамса на основе обычных когомологий и его использование $ K$ -теории и $ K$ -теории для вычисления $ {\ rm Im}\, J\subseteq \ pi \ sp S \ sb * $.

Два исследования Адамса могут быть связаны между собой заменой классической спектральной последовательности Адамса спектральной последовательностью Адамса-Новикова на основе комплексного бордизма $M{\ rm U} \ sb * $: $ {\ rm Im} \, J $ Элементы, по существу, являются элементами, обнаруженными фильтрацией 1. Кроме того, в отличие от теоремы Нишиды, локализованной при каждом простом $ p $, некоторое бесконечное семейство элементов из $ {\ rm Im} \, J $ может быть построено с использованием итераций ненильпотентного элемента положительной степени $ \ alpha \ in \ {M (p), M (p) \} \ sb * $, где $ M (p) $ - пространство мод $ p $ Мура.

В некотором смысле история, рассказанная в обзорной книге, начинается с того, как показано, что все итерации $ \ alpha \ colon \ Sigma \ sp nM (p) \ to M (p) $ необходимы. Один из способов отметить, что на $ M {\ rm U} \ sb * (M (p)) $ $ \ alpha $ индуцирует умножение на степень элемента $ v \ sb 1 \ in M ​​{\ rm U} \ Sb * $, легко воспринимаемый как нефильтрованный. Эквивалентно и, возможно, более аккуратно, можно заметить, что $ \ alpha $ индуцирует изоморфизм ненулевого градуированного $ K \ sp * $ - модуля $ K \ sp * (M (p)) $.

В 1969 году Квиллен показал, что изучение $ M {\ rm U}\sb * $ тесно связано с теорией формальных групповых законов, предмет, который наиболее глубоко изучен теоретиками алгебраических чисел. Именно понимание Дж. Моравы в начале 1970-х годов необходимо серьезно относиться к этой теории для организации информации о операциях $ M {\ rm U} \ sb * $. В частности, он построил для каждой простой $ p $ последовательность периодических обобщенных гомологических теорий (с произведениями) $ K (0) \ sp *, K (1) \ sp *, K (2) \ sp *, \ Cdots $ с $ K (0) $ рациональным спектром Эйленберга-Мака Лейна $ H \ bold Q $, $ K (1) $ - слагаемое mod $ p $ $ K $ -теории и имеющие коэффициенты при $ n \ Geq 1 $, $ K (n)\sb * = \ bold F \ sb p [v\ sb n, v\sb n\sp{-1}]$, где $ v \ sb n $ имеет степень $ 2p \ Sp n-2 $.

Работа автора и его соавторов Х. Миллер и В. С. Уилсон в середине 1970-х годов продемонстрировали, что идеи Моравы, сформулированные в терминах «хроматической фильтрации», могут быть использованы для явного расчета устойчивых гомотопических групп: это тема предыдущей книги автора [Комплексный кобордизм и стабильные гомотопические группы сфер, Academic Press, Orlando, FL, 1986; MR 87j: 55003]. Однако к концу 1970-х годов автор, вдохновленный этими же идеями, начал формулировать различные глобальные гипотезы о характере периодичности и нильпотентности в стабильной гомотопической категории. Разъясненные с использованием языка локализации Баусфилда, они были опубликованы в 1984 году автором [Амер. J. Math. 106 (1984), no. 2, 351-414; MR 85k: 55009].

Как автор рассказывает в предисловии: «У меня были некоторые смутные представления о том, как подойти к догадкам, но в 1982 году, когда Вальдхаузен спросил меня, ожидаю ли я, что ответы будут найдены до конца века, я не мог бы предложить ему никаких заверений». Примечательно, что все, кроме одного, были доказаны к 1986 году (при этом оставшаяся гипотеза «телескопа» до сих пор не решена), в математическом туре силы Э. С. Девиннац, М. Дж. Хопкинса и Дж. Смита [ Анна. Математики. (2) 128 (1988), вып. 2, 207-241; MR 89m: 55009] (и препринт 1992 года Хопкинса и Смита).

Автор заявляет о своих целях: «сделать этот материал доступным для общей математической аудитории и предоставить алгебраическим топологам последовательную и разумно автономную учету этого материала». С этой целью он начинает на стр. 1 с определением того, что означает, что для двух карт гомотопно, и на стр. 6 изложил одну форму теоремы нильпотентности: если $X$ - конечный клеточный комплекс, то $f \В\{X,X\}\sb*$ нильпотентна тогда и только тогда, когда $MU\sb*(f)$ нильпотентна. Две страницы позже, глава 1 заканчивается утверждением теоремы периодичности: если $X $ - $ p $ -локальный конечный клеточный комплекс, а $ n $ выбирается наименьшим, так что приведенные гомологии $K(n)\sp*(X)$ не равна нулю, то существует $ f \ in \{X, X \}\sb*$ такое, что $K(n)\sp*(f)$ является изоморфизмом (и $ f $ является единственным После подходящей итерации).

Глава 2 включает в себя ранее известные примеры ненильпотентных самоархиваций, утверждение теоремы Нишиды и введение первой версии хроматической фильтрации гомотопии.

В главах 3 и 4 содержатся справочные материалы по формальным групповым законам и сложному бордизму (с дополнительной информацией в Приложении B), а также утверждение толстой подкатегории Хопкинса и Смита: всякая надлежащая толстая подкатегория категории $p$ -локальных конечных Клеточные комплексы - это всего лишь полная подкатегория $K(n)\sb * $ - ациклических комплексов для некоторого $ n $. Здесь подкатегория является «толстой» (перевод слова Габриэля «epaisse»), если она закрыта при коорбингах и ретрактах.

В главе 5 содержится вывод толстой подкатегории из теоремы нильпотентности, следуя аргументам Хопкинса и Смита, а глава 6, поддерживаемая Приложениями А и С, приводит читателя через вывод теоремы периодичности. Конструкция Смита в Приложении C ранее не была опубликована в опубликованной форме.

Локализация Баусфилда появляется в главе 7, где излагаются две ранее неопубликованные теоремы Хопкинса и автора. Пусть $L\sb n$ обозначает локализацию Баусфилда по сумме теорий $ K (0), \ cdots, K (n) $. У одной есть теорема о разрыве продукта --- для всех $X$, $L\sbnX\cong X\wedge L\ sb nS\sp 0 $ --- и теоремы о хроматической сходимости --- для всех $ p $ - локальных конечных клеточных комплексов $X$, $X\cong{\ rm holim}\, L\sb nX$. Эскизные доказательства из них составляют Глава 8.

Наконец, доказательство теоремы нильпотентности Девиннац-Хопкинса-Смита приведено в главе 9.

Это потрясающий, но в некотором смысле очень доступный, рассказ, который автор рассказывает менее чем за 200 страниц. Однако в «общей математической аудитории» Равенеля следует предупредить, что внимательный читатель столкнется с широким спектром инструментов, используемых в доказательствах, начиная от модульной теории представлений симметричных групп до алгебр Хопфа и заканчивая инвариантами Хопфа И устойчивое расщепление Снайта Ω 2 S 2n + 1 (в реинкарнации аргумента расширенной мощности Нишиды).